Ecuaciones de Friedmann

Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmología física que describen la expansión métrica del espacio en modelos homogéneos e isótropos del universo dentro del contexto de la teoría general de la relatividad. Fueron halladas por Aleksandr Fridman en 1922^[1]​ a partir de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido con una densidad de masa ${\displaystyle \rho }$ , ${\displaystyle ([\rho ]=kg/m^{3})}$, y una presión ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle ([p]=N/m^{2}=kg/(s^{2}m))}$, dadas. Las ecuaciones son:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda c^{2}-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \Lambda }$	Constante cosmológica, posiblemente causada por la energía del vacío
${\displaystyle G}$	Constante de gravitación
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz
${\displaystyle a}$	Factor de escala del universo
${\displaystyle K}$	Curvatura gaussiana

Si la forma del universo es hiperesférica y ${\displaystyle R}$ es el radio de curvatura (${\displaystyle R_{0}}$ en el momento actual), entonces ${\displaystyle a=R/R_{0}}$. Generalmente, ${\displaystyle K \over a^{2}}$ es la curvatura gaussiana. Si ${\displaystyle K}$ es positiva, entonces el universo es hiperesférico. Si ${\displaystyle K}$ es cero, el universo es plano, y si ${\displaystyle K}$ es negativo, el universo es hiperbólico. Nótese que ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle p}$ son función de ${\displaystyle a}$. El parámetro de Hubble, ${\displaystyle H}$, es un indicador de la velocidad de expansión del universo.

Estas ecuaciones a veces se simplifican redefiniendo la densidad de masa y la presión:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}$

para obtener:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$.

El parámetro de Hubble puede cambiar en el tiempo si otros miembros de la ecuación son dependientes del tiempo (en particular la densidad de energía, la energía del vacío y la curvatura). Evaluando el parámetro de Hubble en el momento actual produce que la constante de Hubble que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble. Aplicado a un fluido con una ecuación de estado dada, las ecuaciones de Friedmann dan como resultado la evolución en el tiempo y la geometría del universo como función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración y se reservan el término ecuación de Friedmann solo para la primera ecuación.

1. ↑ Friedmann, A: Über die Krümmung des Raumes, Z. Phys. 10 (1922), 377-386. (Traducción al inglés en ¡: Gen. Rel. Grav. 31 (1999), 1991-2000.)